La función cuadrática es la primera familia de funciones no lineales que aparece en serio en el secundario y vuelve, con todo, en cualquier ingreso a una carrera de ingeniería, economía o ciencias. Su gráfico —la parábola— modela tiros oblicuos, formas de antenas, ganancias máximas y un sinfín de fenómenos donde algo crece, alcanza un extremo y vuelve a cambiar.
En este apunte vas a dominar las tres formas de escribirla (polinómica, canónica y factorizada), aprender a leer cada parámetro y a graficar con seguridad.
Al terminar vas a poder:
Identificar los parámetros \(a, b, c\) o \(a, h, k\) o \(a, x_1, x_2\) según la forma.
Calcular vértice, raíces, ordenada al origen, eje de simetría e imagen.
Convertir entre las tres formas (completar cuadrados, factorizar, expandir).
Graficar la parábola con todos sus elementos característicos.
Decir función cuadrática, parábola y polinomio de grado 2 es decir lo mismo: tres nombres para el mismo objeto. La condición \(a \neq 0\) es clave: si \(a = 0\), la función se vuelve \(f(x) = bx + c\), que es lineal, no cuadrática.
Dominio: \(\text{Dom}(f) = \mathbb{R}\). Podés evaluar la función en cualquier número real.
Imagen: depende del signo de \(a\) y del vértice. La vamos a determinar en cada forma.
Elvira
Tres nombres, la misma cosa: función cuadrática, parábola y polinomio de grado 2 son sinónimos. Cuando un parcial te diga "graficar la parábola \(f(x) = x^2 - 4\)", están pidiendo exactamente lo mismo que si dijera "graficar la función cuadrática".
El parámetro \(a\) determina si la parábola abre hacia arriba (cuando \(a > 0\)) o hacia abajo (cuando \(a < 0\)), y también qué tan angosta o ancha es. Cuanto más grande es \(|a|\), más angosta. Más adelante, en el explorador, vas a poder mover los deslizadores y verlo en vivo.
Es la forma más común y la que aparece cuando se expande o se desarrolla una expresión cuadrática. Es el punto de partida natural si los datos vienen como un polinomio ya armado.
Significado de los parámetros
Vértice desde la forma polinómica
La abscisa del vértice se obtiene con una fórmula directa:
Una vez calculado \(h\), la ordenada del vértice es simplemente el valor de la función en ese punto:
Es decir: reemplazás \(h\) en la función original y obtenés \(k\). El vértice queda \(V = (h, k)\).
Gema
Existe una fórmula cerrada \(k = c - \dfrac{b^2}{4a}\), pero no hace falta memorizarla. Calculás \(h\), reemplazás en \(f\), y listo: te ahorrás un error de signo seguro.
Raíces: la fórmula resolvente (Bhaskara)
Las raíces son los valores de \(x\) donde \(f(x) = 0\). Para una cuadrática se calculan con la fórmula resolvente:
El número que queda dentro de la raíz, \(b^2 - 4ac\), se llama discriminante y se nota con \(\Delta\). Su signo determina cuántas raíces reales tiene la función:
Discriminante: \(\Delta = b^2 - 4ac\)
\(\Delta > 0\): dos raíces reales distintas.
\(\Delta = 0\): una raíz real doble (la parábola toca el eje \(x\) sin cruzarlo).
\(\Delta < 0\): no hay raíces reales (la parábola no corta el eje \(x\)).
Imagen
Si \(a > 0\): la imagen es \(\text{Im}(f) = [k,\, +\infty)\) y \(k\) es el mínimo de la función.
Si \(a < 0\): la imagen es \(\text{Im}(f) = (-\infty,\, k]\) y \(k\) es el máximo.
Parábola con \(a>0\): abre hacia arriba; el vértice es el mínimo.
Parábola con \(a<0\): abre hacia abajo; el vértice es el máximo.
Gema
Truco mnemotécnico: si \(a>0\), la parábola está contenta (boca para arriba, sonríe). Si \(a<0\), está triste (boca para abajo). El signo de \(a\) es el humor de la parábola.
Esta forma expone el vértice de la parábola, que es el punto \((h, k)\). En vez de tener que calcularlo, se lee directo.
Significado de los parámetros
Vértice: \(V = (h, k)\)
Eje de simetría: recta vertical \(x = h\)
Imagen: \([k, +\infty)\) si \(a > 0\); \((-\infty, k]\) si \(a < 0\).
De polinómica a canónica
Si tenés \(f(x) = ax^2 + bx + c\) y querés llegar a \(f(x) = a(x-h)^2 + k\), el procedimiento estándar tiene tres pasos:
Con la fórmula directa del vértice:
$$ h = -\frac{b}{2a} $$Evaluás la función en \(h\):
$$ k = f(h) $$Mantenés el mismo \(a\) y escribís:
$$ f(x) = a(x - h)^2 + k $$Alternativamente se puede usar completar cuadrados, que es el método algebraico puro. En la sección de ejemplos vas a ver ambas técnicas.
Desplazamientos en el gráfico
El vértice \(V=(h,k)\) se lee directo de la forma canónica.
Elvira
El error N° 1 con la forma canónica: leer \(h\) con el signo cambiado. Si te dan \(f(x) = 2(x - 3)^2 + 1\), el vértice es \((3, 1)\), no \((-3, 1)\). El menos ya está en la definición \((x - h)\). Si ves \((x + 5)^2\), eso es \((x - (-5))^2\), así que \(h = -5\). El valor de \(h\) siempre es opuesto al número que ves dentro del paréntesis.
Esta forma expone las raíces \(x_1\) y \(x_2\) de la parábola: los valores de \(x\) donde \(f(x) = 0\), es decir, las intersecciones con el eje \(x\).
Solo se puede escribir cuando la parábola tiene raíces reales, es decir cuando \(\Delta \geq 0\). Si \(\Delta = 0\), las dos raíces coinciden y la forma se reduce a \(f(x) = a(x - x_1)^2\). Si \(\Delta < 0\), no es posible factorizar en \(\mathbb{R}\).
Significado de los parámetros
Vértice desde la factorizada: el vértice queda en el punto medio entre las raíces:
$$ h = \frac{x_1 + x_2}{2}, \qquad k = f(h). $$Los tres casos según el discriminante
Los tres escenarios según el signo del discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\).
Gema
Las tres formas describen la misma función, escrita distinto. Polinómica te grita la ordenada al origen, canónica el vértice y factorizada las raíces. Usá la que mejor te resuelva el problema.
Esta sección usa la forma canónica \(f(x) = a(x - h)^2 + k\) porque es la que mejor expone los tres parámetros geométricos: apertura, posición horizontal y vertical del vértice.
Moví los deslizadores y mirá qué le pasa a la parábola en tiempo real. Prestá especial atención a cómo cambia el vértice, la apertura y la imagen.
Elvira
Cosas para chequear: cuando \(a\) cambia de signo, la parábola se da vuelta. Cuando \(h\) crece, el vértice se mueve hacia la derecha. Cuando \(k\) crece, el vértice sube. Y si \(|a|\) crece, la parábola se hace más angosta. ¿Qué pasa con \(a = 0\)? El deslizador no llega: \(a=0\) rompería la definición.
Comparación de las tres formas
| Forma | Fórmula | Lectura directa |
|---|---|---|
| Polinómica | \(f(x) = ax^2 + bx + c\) | Ordenada al origen \(c = f(0)\). Vértice por \(h = -b/(2a)\). Raíces por Bhaskara. |
| Canónica | \(f(x) = a(x - h)^2 + k\) | Vértice \(V = (h, k)\). Eje de simetría \(x = h\). Imagen \([k, +\infty)\) si \(a>0\). |
| Factorizada | \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) | Raíces \(x_1\) y \(x_2\). Vértice en \(h = (x_1+x_2)/2\). |
Las conversiones más usadas: polinómica → canónica con \(h = -b/(2a)\) y \(k = f(h)\); canónica → polinómica desarrollando el cuadrado; polinómica → factorizada hallando las raíces con Bhaskara y armando los factores.
Error: Leer \(h\) con el signo cambiado en la canónica. Por ejemplo decir que el vértice de \(f(x) = 3(x + 2)^2 - 5\) es \((2, -5)\).
Correcto: Como \((x + 2) = (x - (-2))\), entonces \(h = -2\) y el vértice es \((-2, -5)\). El \(h\) es siempre opuesto al número que ves dentro del paréntesis.
Error: Olvidar la condición \(a \neq 0\) y trabajar con un "cuadrática" donde \(a = 0\).
Correcto: Si \(a = 0\), la función \(f(x) = bx + c\) es lineal, no cuadrática. Sin \(a\) no hay parábola.
Error: Suponer que toda cuadrática tiene raíces reales.
Correcto: Si \(\Delta < 0\), la parábola no corta al eje \(x\) y no se puede factorizar en \(\mathbb{R}\).
Error: Creer que el vértice siempre es un mínimo.
Correcto: El vértice es mínimo solo si \(a > 0\). Si \(a < 0\), el vértice es un máximo.
Error: Confundir raíz con vértice.
Correcto: Las raíces son los \(x\) donde \(f(x) = 0\) (intersecciones con el eje \(x\)). El vértice es el punto extremo de la parábola: \((h, k)\). En general, ninguna raíz coincide con el vértice (salvo si \(\Delta = 0\)).
Error: Al aplicar Bhaskara, mezclar el signo de \(b\). Por ejemplo, con \(f(x) = x^2 - 5x + 6\) escribir \(x = (- 5 \pm \sqrt{\cdots})/2\) en vez de \(x = (5 \pm \sqrt{\cdots})/2\).
Correcto: La fórmula es \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\). Si \(b = -5\), entonces \(-b = 5\). El signo de \(b\) entra como es, y la fórmula le pone el opuesto.
Mirar \(a\): ¿qué signo? Define apertura. ¿Qué magnitud? Define ancho.
Calcular el vértice. Si está en canónica, leelo. Si está en polinómica, usá \(h = -b/(2a)\) y \(k = f(h)\).
Calcular \(\Delta\). Te dice cuántas raíces reales esperar.
Hallar las raíces. Si \(\Delta \geq 0\), Bhaskara o factorización directa.
Ordenada al origen: \(f(0) = c\).
Eje de simetría: recta \(x = h\).
Imagen: \([k, +\infty)\) o \((-\infty, k]\) según el signo de \(a\).
Graficar: vértice, raíces, ordenada al origen y al menos un punto auxiliar simétrico.
Las dos
El reflejo cuadrático en parcial: ves la fórmula, identificás de qué forma viene escrita, y de ahí pensás qué te falta. Cada forma te regala dos cosas y te esconde una. Conocer cuál te da qué te ahorra la mitad del tiempo.
Dada \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\), determiná vértice, raíces, ordenada al origen, imagen y graficá.
Comparando con \(f(x) = ax^2 + bx + c\):
$$ a = 2, \quad b = -8, \quad c = 6. $$Como \(a = 2 > 0\), la parábola abre hacia arriba.
Usamos la fórmula \(h = -\dfrac{b}{2a}\). Reemplazamos:
$$ h = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = -\frac{-8}{4} = \frac{8}{4} = 2. $$El menos delante de \(-8\) lo convierte en \(+8\), y dividimos por \(2a = 4\).
Evaluamos \(f\) en \(h = 2\):
$$ k = f(2) = 2 \cdot (2)^2 - 8 \cdot 2 + 6. $$Paso a paso del cálculo numérico:
Vértice: \(V = (2,\, -2)\).
Como \(\Delta = 16 > 0\), hay dos raíces reales distintas.
Separamos los dos casos:
\(f(0) = c = 6\), entonces la parábola pasa por \((0, 6)\). Como \(a > 0\):
$$ \text{Im}(f) = [-2,\, +\infty). $$\(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\) · vértice \(V=(2,-2)\), raíces \(x=1\) y \(x=3\).
Verificación. En forma factorizada, \(f(x) = 2(x-1)(x-3)\). Expandimos: \(2(x^2 - 4x + 3) = 2x^2 - 8x + 6\) ✓. Y \(f(0) = 2 \cdot 1 \cdot 3 = 6 = c\) ✓.
Interpretación. Las tres lecturas conviven: \(\boxed{f(x) = 2x^2 - 8x + 6 = 2(x-1)(x-3) = 2(x-2)^2 - 2}\). La función alcanza su valor mínimo \(-2\) en \(x = 2\).
Dada \(f(x) = -3(x + 1)^2 + 12\), determiná vértice, raíces e imagen.
Comparando con \(f(x) = a(x - h)^2 + k\):
Como aparece \((x + 1) = (x - (-1))\), tenemos \(h = -1\). Y los demás:
$$ a = -3, \quad h = -1, \quad k = 12. $$Como \(a = -3 < 0\), la parábola abre hacia abajo: el vértice será un máximo.
Se lee de la fórmula sin cuentas:
$$ V = (h,\, k) = (-1,\, 12). $$Eje de simetría: \(x = -1\).
Planteamos \(f(x) = 0\):
$$ -3(x + 1)^2 + 12 = 0. $$Despejamos. Primero pasamos el \(12\) restando al otro lado:
$$ -3(x + 1)^2 = -12. $$Dividimos ambos miembros por \(-3\). Como dividimos por un número negativo, el signo del miembro derecho cambia:
$$ (x + 1)^2 = \frac{-12}{-3} = 4. $$Aplicamos raíz cuadrada en ambos miembros. ¡Atención! Aparecen dos soluciones, una positiva y otra negativa:
$$ x + 1 = \pm \sqrt{4} = \pm 2. $$Despejamos \(x\) en cada caso:
Como \(a < 0\):
$$ \text{Im}(f) = (-\infty,\, 12]. $$Y \(f(0) = -3 \cdot (0 + 1)^2 + 12 = -3 + 12 = 9\), así que pasa por \((0, 9)\).
\(f(x) = -3(x+1)^2 + 12\) · vértice \(V=(-1,12)\), raíces \(x=-3\) y \(x=1\).
Verificación. Expandimos para chequear con la polinómica: \(-3(x+1)^2 + 12 = -3(x^2 + 2x + 1) + 12 = -3x^2 - 6x - 3 + 12 = -3x^2 - 6x + 9\). Y \(f(0) = 9\) ✓.
Interpretación. El valor máximo de la función es \(\boxed{k_{\max} = 12}\), alcanzado en \(x = -1\).
Dada \(f(x) = \tfrac{1}{2}(x - 4)(x + 2)\), hallá vértice, ordenada al origen y analizá el signo de la función.
Comparando con \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\): el factor \((x - 4)\) da \(x_1 = 4\); el factor \((x + 2) = (x - (-2))\) da \(x_2 = -2\). Y \(a = \tfrac{1}{2}\).
$$ a = \tfrac{1}{2}, \quad x_1 = 4, \quad x_2 = -2. $$Como \(a > 0\), abre hacia arriba.
Está en el punto medio entre las raíces:
$$ h = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1. $$Evaluamos \(f\) en \(h = 1\):
$$ k = f(1) = \tfrac{1}{2}(1 - 4)(1 + 2). $$Resolvemos los paréntesis primero:
Vértice: \(V = \left(1,\, -\tfrac{9}{2}\right)\).
Pasa por \((0, -4)\).
Como \(a > 0\), la parábola está por debajo del eje \(x\) entre las raíces y por encima fuera:
\(f(x) = \tfrac{1}{2}(x-4)(x+2)\) · vértice \(V=(1,-\tfrac{9}{2})\).
Verificación. Expandimos: \(\tfrac{1}{2}(x-4)(x+2) = \tfrac{1}{2}(x^2 - 2x - 8) = \tfrac{1}{2}x^2 - x - 4\). Evaluando en \(x=0\): \(-4\) ✓. Evaluando en \(x=1\): \(\tfrac{1}{2} - 1 - 4 = -\tfrac{9}{2}\) ✓.
Interpretación. Esta forma factorizada es la más cómoda para resolver inecuaciones del tipo \(f(x) > 0\): el signo lo dictan las raíces y el signo de \(a\). El resultado: \(\boxed{f(x) > 0 \Leftrightarrow x < -2 \ \lor\ x > 4}\).
Dada \(f(x) = 2x^2 + 12x + 13\), llevala a forma canónica completando cuadrados, identificá el vértice y analizá las raíces.
El método de completar cuadrados solo funciona si el coeficiente de \(x^2\) es \(1\). Como \(a = 2 \neq 1\), lo extraemos factor común solo de los términos con \(x\):
$$ f(x) = 2x^2 + 12x + 13 = 2\,(x^2 + 6x) + 13. $$El término independiente \(13\) queda afuera del factor común. Esto es clave: si lo metés adentro, te queda \(2(x^2 + 6x + 13/2)\), que complica las cuentas. Mejor dejarlo afuera.
Mirando \(x^2 + 6x\), queremos transformarlo en algo del tipo \((x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2\). Comparando los coeficientes de \(x\):
$$ 2p = 6 \quad \Longrightarrow \quad p = 3. $$Entonces el "número que falta" para que \(x^2 + 6x\) se complete a un cuadrado perfecto es \(p^2 = 9\). Es decir:
$$ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2. $$Atajo mental: "la mitad de \(6\), al cuadrado" = \(3^2 = 9\).
No podemos simplemente agregar un \(9\): cambiaría la función. Lo que hacemos es sumar y restar al mismo tiempo, lo que es legítimo porque \(+9 - 9 = 0\):
$$ f(x) = 2\,\big(x^2 + 6x + 9 - 9\big) + 13. $$Agrupamos los tres primeros como el cuadrado perfecto y dejamos el \(-9\) aparte:
$$ f(x) = 2\,\big((x + 3)^2 - 9\big) + 13. $$Aplicamos propiedad distributiva del \(2\) sobre los dos términos del paréntesis grande:
$$ f(x) = 2(x + 3)^2 + 2 \cdot (-9) + 13. $$El \(2 \cdot (-9) = -18\). Sumamos con \(+13\): \(-18 + 13 = -5\). Quedó:
$$ \boxed{f(x) = 2(x + 3)^2 - 5.} $$Ya está en forma canónica con \(a = 2\), \(h = -3\) (¡atención al signo!) y \(k = -5\).
Vértice directo: \(V = (-3,\, -5)\). Como \(a = 2 > 0\), la parábola abre arriba y \(-5\) es el mínimo. Verificamos con el método de polinómica:
Discriminante:
$$ \Delta = 12^2 - 4 \cdot 2 \cdot 13 = 144 - 104 = 40 > 0. $$Hay dos raíces reales, irracionales. Las calculamos por Bhaskara:
$$ x_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{10}}{2}. $$Simplificación: factorizamos \(\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}\) y luego dividimos numerador y denominador por \(2\).
Numéricamente: \(\sqrt{10} \approx 3.162\), entonces \(x_1 \approx -1.42\) y \(x_2 \approx -4.58\).
Verificación. Expandimos la canónica de vuelta y debe dar la polinómica original: \(2(x+3)^2 - 5 = 2(x^2 + 6x + 9) - 5 = 2x^2 + 12x + 18 - 5 = 2x^2 + 12x + 13\) ✓. Y \(f(0) = 2 \cdot 9 - 5 = 13 = c\) ✓.
Interpretación. Completar cuadrados es la técnica algebraica que convierte polinómica en canónica sin usar fórmulas memorizadas: vale la pena dominarla porque aparece de nuevo en cónicas, integrales con sustitución trigonométrica y en optimización analítica. Resultado: \(\boxed{f(x) = 2(x+3)^2 - 5}\), con vértice \((-3, -5)\) y raíces \(x = \dfrac{-6 \pm \sqrt{10}}{2}\).
Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba desde una altura inicial de \(1{,}5\) m con una velocidad inicial de \(30\) m/s. Despreciando el rozamiento, su altura en metros en función del tiempo \(t\) (en segundos) es
Encontrá: a) el instante en que alcanza la altura máxima; b) el valor de esa altura máxima; c) el instante en que toca el suelo.
Aunque la variable se llama \(t\) en vez de \(x\), la función es exactamente una cuadrática con
$$ a = -5, \quad b = 30, \quad c = 1{,}5. $$Como \(a < 0\), la parábola abre hacia abajo: el vértice será un máximo (lo que tiene sentido físico: el objeto sube, frena y cae).
La altura máxima ocurre en el vértice. Usamos \(h = -\dfrac{b}{2a}\) (acá \(h\) es el tiempo del vértice, no confundir con la función \(h(t)\)):
$$ t_{\max} = -\frac{30}{2 \cdot (-5)} = -\frac{30}{-10} = 3. $$El menos del numerador y el menos del denominador se cancelan dando un resultado positivo. La altura máxima se alcanza a los \(3\) segundos.
Evaluamos \(h(t)\) en \(t = 3\):
$$ h(3) = -5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 + 1{,}5. $$Calculamos cada término:
La altura máxima es de \(46{,}5\) metros.
El objeto toca el suelo cuando \(h(t) = 0\):
$$ -5\,t^2 + 30\,t + 1{,}5 = 0. $$Multiplicamos toda la ecuación por \(-2\) para sacarnos los decimales y el signo negativo del cuadrático (mismas raíces):
$$ 10\,t^2 - 60\,t - 3 = 0. $$Aplicamos Bhaskara con \(a = 10\), \(b = -60\), \(c = -3\):
$$ \Delta = (-60)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 3600 + 120 = 3720. $$Notá que \(-4 \cdot 10 \cdot (-3) = +120\): dos signos menos dan más.
$$ t = \frac{-(-60) \pm \sqrt{3720}}{2 \cdot 10} = \frac{60 \pm \sqrt{3720}}{20}. $$Simplificamos la raíz: \(\sqrt{3720} = \sqrt{4 \cdot 930} = 2\sqrt{930}\). Y dividimos numerador y denominador por \(2\):
$$ t = \frac{60 \pm 2\sqrt{930}}{20} = \frac{30 \pm \sqrt{930}}{10} = 3 \pm \frac{\sqrt{930}}{10}. $$Numéricamente, \(\sqrt{930} \approx 30{,}50\), entonces:
Descartamos \(t_2\) porque el tiempo no puede ser negativo en este problema (el objeto se lanza en \(t=0\)). El objeto impacta a los \(\approx 6{,}05\) segundos.
Verificación rápida. El instante de altura máxima (\(3\) s) debería estar a mitad de camino entre el lanzamiento y el impacto, solo si la altura inicial fuera cero. Acá empieza con \(1{,}5\) m, así que el tiempo de bajada es apenas un poquito mayor que el de subida: \(3{,}05\) s contra \(3\) s. Pasa el sentido común ✓.
Interpretación. \(\boxed{t_{\max} = 3 \text{ s}, \quad h_{\max} = 46{,}5 \text{ m}, \quad t_{\text{impacto}} \approx 6{,}05 \text{ s}.}\) Este modelo es el clásico del tiro vertical con aceleración \(g \approx 10\) m/s²: cualquier movimiento en caída libre desde cierta altura con velocidad inicial sigue una parábola.
Gema
Fijate que en el ejemplo 5 la variable se llama \(t\), no \(x\). El nombre de la variable no cambia nada del análisis: lo importante es que la función sea cuadrática. Esto te va a aparecer mil veces en física, economía y biología con letras distintas (precio, cantidad, concentración…).
Diez ejercicios de directos a integradores. Resolvelos antes de mirar la solución.
\(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\). Abre hacia arriba.
\(V = (3, -4)\).
\(x_1 = 5\), \(x_2 = 1\). Ordenada al origen: \(f(0) = 5\).
Resultado: $$\boxed{V = (3,-4),\ x_1 = 1,\ x_2 = 5,\ f(0) = 5.}$$
Verificación: en forma factorizada \(f(x) = (x-1)(x-5) = x^2 - 6x + 5\) ✓.
\(a = -2\), \(b = 4\), \(c = 6\). Abre hacia abajo.
\(V = (1, 8)\). Imagen: \((-\infty, 8]\).
\(x_1 = \dfrac{4}{-4} = -1\), \(x_2 = \dfrac{-12}{-4} = 3\).
Resultado: $$\boxed{V = (1, 8),\ x_1 = -1,\ x_2 = 3,\ \text{Im} = (-\infty, 8].}$$
Forma canónica con \(a = 2\), \(h = 3\), \(k = -8\). Vértice \(V = (3, -8)\).
Resultado: $$\boxed{V = (3, -8),\ x_1 = 1,\ x_2 = 5,\ f(0) = 10.}$$
Como aparece \((x + 2) = (x - (-2))\), entonces \(h = -2\), y \(k = 9\). \(a = -1\) (abre abajo).
\(V = (-2, 9)\).
Resultado: $$\boxed{V = (-2, 9),\ x_1 = -5,\ x_2 = 1.}$$
\(a = -2\), \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\). Abre hacia abajo.
\(V = (-1, 8)\).
Como \(a < 0\), la parábola es positiva entre las raíces:
$$ g(x) > 0 \text{ si } -3 < x < 1, \quad g(x) < 0 \text{ si } x < -3 \text{ o } x > 1. $$Resultado: $$\boxed{V = (-1, 8),\ g(0) = 6,\ g(x)>0 \Leftrightarrow x \in (-3, 1).}$$
No hay que sacar factor común; \(a = 1\).
La mitad de \(-8\) es \(-4\); al cuadrado, \(16\). Ese es el número que falta para completar:
$$ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2. $$Resultado: $$\boxed{f(x) = (x - 4)^2 - 5,\ V = (4, -5).}$$
Verificación. Expandimos: \((x - 4)^2 - 5 = x^2 - 8x + 16 - 5 = x^2 - 8x + 11\) ✓.
La cuadrática tiene una raíz real (doble) si y solo si \(\Delta = 0\).
Resultado: $$\boxed{k = 6 \text{ o } k = -6.}$$
Verificación. Con \(k = 6\): \(x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\), raíz doble \(x = -3\) ✓. Con \(k = -6\): \((x-3)^2\), raíz doble \(x = 3\) ✓.
Que sea cuadrática: \(k \neq 0\). Que no tenga raíces reales: \(\Delta < 0\).
Pedimos:
$$ 16 - 4k < 0. $$Pasamos \(16\) restando:
$$ -4k < -16. $$Dividimos por \(-4\). ¡Atención! Al dividir por un número negativo, la desigualdad se da vuelta:
$$ k > 4. $$Como \(k = 4 > 0\), la condición \(k \neq 0\) ya queda incluida.
Resultado: $$\boxed{k > 4.}$$
Como \((1, 0)\) y \((-3, 0)\) son raíces, planteamos:
$$ f(x) = a\,(x - 1)(x - (-3)) = a\,(x - 1)(x + 3). $$Como \(f(0) = -6\), reemplazamos \(x = 0\):
$$ -6 = a \cdot (0 - 1)(0 + 3) = a \cdot (-1) \cdot 3 = -3a. $$ $$ a = \frac{-6}{-3} = 2. $$Expandimos: \((x - 1)(x + 3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3\). Multiplicamos por \(2\):
$$ f(x) = 2x^2 + 4x - 6. $$Resultado: $$\boxed{f(x) = 2(x-1)(x+3) = 2x^2 + 4x - 6.}$$
Verificación. \(f(1) = 2 + 4 - 6 = 0\) ✓; \(f(-3) = 18 - 12 - 6 = 0\) ✓; \(f(0) = -6\) ✓.
\(a = -3\), \(b = 60\), \(c = -100\). Abre hacia abajo: el vértice es un máximo, lo que cierra con el sentido económico.
Producir \(10\) unidades maximiza el ingreso.
El ingreso máximo es de \(200\) mil pesos.
Buscamos primero las raíces (donde \(I(x) = 0\)). Multiplicamos por \(-1\) la ecuación para simplificar:
$$ 3x^2 - 60x + 100 = 0. $$ $$ \Delta = 60^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 3600 - 1200 = 2400. $$ $$ x = \frac{60 \pm \sqrt{2400}}{6}. $$Simplificamos \(\sqrt{2400} = \sqrt{400 \cdot 6} = 20\sqrt{6}\). Entonces:
$$ x = \frac{60 \pm 20\sqrt{6}}{6} = \frac{30 \pm 10\sqrt{6}}{3} = 10 \pm \frac{10\sqrt{6}}{3}. $$Numéricamente, \(\sqrt{6} \approx 2{,}449\), entonces \(\dfrac{10\sqrt{6}}{3} \approx 8{,}16\). Las raíces son \(x_1 \approx 1{,}84\) y \(x_2 \approx 18{,}16\).
Como \(a < 0\), \(I(x) > 0\) entre las raíces y \(I(x) < 0\) fuera de ese intervalo. Es decir, hay pérdida si \(x < 1{,}84\) o \(x > 18{,}16\) (interpretando \(x \geq 0\) por sentido físico):
$$ I(x) < 0 \Leftrightarrow x \in [0,\, 1{,}84) \ \cup\ (18{,}16,\, +\infty). $$Resultado: $$\boxed{x_{\max} = 10 \text{ unidades},\ I_{\max} = 200 \text{ mil pesos}.}$$
Verificación. En forma canónica: \(I(x) = -3(x - 10)^2 + 200\). Expandiendo: \(-3(x^2 - 20x + 100) + 200 = -3x^2 + 60x - 300 + 200 = -3x^2 + 60x - 100\) ✓.
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