Función Cuadrática

01 · Definición ¿Qué es la Función Cuadrática? ▼

Una función cuadrática es una función polinómica de grado 2. Su gráfica es siempre una parábola. La forma más general es:

$$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{con } a \neq 0, \quad a, b, c \in \mathbb{R}$$

El coeficiente $a$ determina si la parábola abre hacia arriba ($a > 0$) o hacia abajo ($a < 0$). Sin $a$, no hay curvatura y la función sería lineal.

Dominio: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$ | Imagen: depende de $a$ y el vértice.

Elvira dice

Decir "Función cuadrática" es lo mismo que decir "Parábola" o "Polinomio de grado 2". Son tres formas de nombrar esta funcion.

02 · Forma I Forma Polinómica (o General) ▼

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

Es la forma más común y la que aparece cuando se expande o desarrolla una expresión cuadrática.

Importancia de los parámetros

Parámetro a

$a$

Coeficiente de $x^2$. Determina apertura ($a>0$ abre arriba, $a<0$ abre abajo) y ancho de la parábola. ¡No puede ser cero!

Parámetro b

$b$

Coeficiente de $x$. Afecta la posición horizontal del vértice.

Parámetro c

$c$

Término independiente. Es la ordenada al origen: $f(0) = c$. La parábola pasa por $(0,c)$.

Fórmulas clave desde la forma polinómica

$$h = -\frac{b}{2a}$$

Una vez calculado $h$, para encontrar $k$ simplemente reemplazá ese valor en la función: $k = f(h)$.

Gema te tira un tip

Existe una fórmula directa para $k$:

$\displaystyle k = c - \frac{b^2}{4a}$

Pero no hace falta memorizarla, $k$ es simplemente la imagen de $h$, o sea $k = f(h)$. Calculás $h$ con la fórmula, lo reemplazás en la función, y listo — tenés el vértice $(h, k)$.

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{(Bhaskara / fórmula cuadrática)}$$

Discriminante: $\Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta > 0$: dos raíces reales distintas | $\Delta = 0$: una raíz real doble | $\Delta < 0$: sin raíces reales

Imagen de la función

Si $a > 0$: la imagen es $[k, +\infty)$.

Si $a < 0$: la imagen es $(-\infty, k]$.

Parábola con a > 0 — apertura hacia arriba (forma de U)

Parábola con a < 0 — apertura hacia abajo (forma de arco)

Gema te tira un tip

Gema dice: ¿Cómo recordar la concavidad? Pensá en una cara: si $a > 0$ la parábola está feliz 😊 (abre hacia arriba, forma de U). Si $a < 0$ está triste ☹️ (abre hacia abajo, forma de arco). ¡El signo de $a$ es el humor de la parábola!

03 · Forma II Forma Canónica (o del Vértice) ▼

$$f(x) = a(x - h)^2 + k$$

Esta forma expresa directamente la posición del vértice de la parábola, que es el punto $(h, k)$.

Importancia de los parámetros

Parámetro a

$a$

Igual que en la forma polinómica: apertura y ancho. ¡El mismo $a$!

Parámetro h

$h$

Abscisa del vértice. Desplazamiento horizontal. ¡Ojo! Aparece con signo negativo en la fórmula: $(x - h)$.

Parámetro k

$k$

Ordenada del vértice. Desplazamiento vertical. El valor mínimo (o máximo) de la función.

Vértice: $V = (h,\, k)$

Eje de simetría: $x = h$

Imagen: si $a > 0$, entonces $\text{Im}(f) = [k, +\infty)$; si $a < 0$, $\text{Im}(f) = (-\infty, k]$.

¿Cómo pasar de polinómica a canónica?

Teniendo $f(x) = ax^2 + bx + c$, el procedimiento es directo:

1

Calcular $h$
$$h = -\frac{b}{2a}$$

2

Calcular $k$ reemplazando en la función
$k = f(h)$ simplemente evaluás la función en el valor de $h$.

3

Armar la forma canónica
$f(x) = a(x - h)^2 + k$

Gráfico general: desplazamientos

Forma canónica: el vértice $V=(h,k)$ se lee directamente

Elvira aclara

El error más común: leer $h$ con el signo cambiado. Si la fórmula es $f(x) = 2(x - 3)^2 + 1$, el vértice es $(3, 1)$, NO $(-3, 1)$. El "menos" ya está en la definición $(x - h)$. Si te aparece $(x + 5)^2$, eso es $(x - (-5))^2$, o sea $h = -5$.

En definitiva, el valor de $h$ siempre es el opuesto al que ves en la formula de la función.

04 · Forma III Forma Factorizada ▼

$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Solo existe cuando la parábola tiene dos raíces reales ($\Delta > 0$). Si $\Delta = 0$, la forma es $f(x) = a(x - x_1)^2$. Si $\Delta < 0$, no se puede factorizar en $\mathbb{R}$.

Importancia de los parámetros

Parámetro a

$a$

El mismo de siempre. Apertura y ancho. No cambia entre formas.

Raíz x₁

$x_1$

Primera raíz real. La parábola cruza (o toca) el eje $x$ en $x = x_1$.

Raíz x₂

$x_2$

Segunda raíz real. La parábola cruza el eje $x$ en $x = x_2$. Puede coincidir con $x_1$ si $\Delta = 0$.

Las raíces son los valores donde $f(x) = 0$, es decir, los ceros de la función o los puntos de intersección con el eje $x$.

El vértice queda en el punto medio de las raíces: $\displaystyle h = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Gráfico general según el discriminante

Los tres casos según el valor del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$

Gema conecta ideas

Las tres formas son la misma función, solo escritas diferente. Como tener tres apodos para la misma persona. Forma polinómica: "¿cómo se construyó?" Canónica: "¿dónde está el vértice?" Factorizada: "¿dónde corta el eje $x$?" Saber cuál usar depende de lo que te pide el problema.

05 · Resumen Tabla Comparativa de las Tres Formas ▼

Forma	Fórmula General	Información directa
Polinómica / General	$f(x) = ax^2 + bx + c$	Ordenada al origen $c = f(0)$. Permite calcular el discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ y las raíces por Bhaskara. El vértice se obtiene con $h = -b/(2a)$.
Canónica / del Vértice	$f(x) = a(x - h)^2 + k$	Vértice $V = (h, k)$ directamente. Eje de simetría $x = h$. Valor mínimo (o máximo) de la función es $k$. Imagen $[k,+\infty)$ si $a>0$.
Factorizada	$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$	Raíces o ceros $x_1$ y $x_2$ directamente (cuando existen). Signos de la función y análisis de intervalos. Vértice en $h = (x_1+x_2)/2$.

Elvira resume

Para convertir entre formas: Polinómica → Canónica: usar $h = \frac{-b}{2a}$ y $k = f(h)$ para hallar el vértice.

Canónica → Polinómica: desarrollar el cuadrado y simplificar.

Polinómica → Factorizada: hallar las raíces con Bhaskara y armar los factores.

06 · Cuidado Errores Típicos ▼

Error 1: Confundir el signo de $h$ en la forma canónica.
$f(x) = 3(x + 2)^2 - 5$ → el vértice es $(-2, -5)$, no $(2, -5)$.
Recordá: $(x + 2) = (x - (-2))$, entonces $h = -2$.
El parámetro $h$ siempre es opuesto al que ves en la función.

Error 2: Olvidar que $a \neq 0$.
Si $a = 0$, la función $f(x) = bx + c$ es lineal, no cuadrática.
Sin $a$, no hay parábola.

Error 3: Asumir que toda cuadrática tiene raíces reales.
Si $\Delta < 0$, no hay raíces reales. No se puede factorizar en $\mathbb{R}$ ni la parábola corta el eje $x$.

Error 4: Creer que el vértice es siempre un mínimo.
El vértice es mínimo solo cuando $a > 0$ (parábola abre arriba).
Si $a < 0$, el vértice es un máximo.

Error 5: Confundir "raíz" con "vértice".
Las raíces son donde $f(x) = 0$ (intersecciones con el eje $x$).
El vértice es el punto más alto o más bajo de la parábola.

07 · Checklist Lista de Verificación para Graficar ▼

1

Identificar $a$. ¿Es positivo o negativo? Determina apertura. ¿Grande o chico? Determina ancho.

2

Calcular el vértice. Usá $h = -b/2a$ y luego $k = f(h)$. O si está en forma canónica, leelo directamente.

3

Calcular el discriminante $\Delta$. Determina cuántas raíces reales tiene la parábola.

4

Hallar las raíces. Si $\Delta \geq 0$, aplicar Bhaskara. Si $\Delta < 0$, no hay raíces reales.

5

Calcular la ordenada al origen. $f(0) = c$. Es el punto donde la parábola cruza el eje $y$.

6

Trazar el eje de simetría. Recta $x = h$. La parábola es simétrica respecto a esta recta.

7

Indicar la imagen. Si $a > 0$: $[k, +\infty)$. Si $a < 0$: $(-\infty, k]$.

8

Graficar. Marcar vértice, raíces, ordenada al origen y al menos un punto extra para cada lado del eje de simetría.

08 · Ejemplos Resueltos Un Ejemplo por Cada Forma ▼

Ejemplo 1 — Forma Polinómica

Dada $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$, determiná vértice, raíces, imagen y graficá.

1

Identificar $a, b, c$
$a = 2$, $b = -8$, $c = 6$. Como $a = 2 > 0$, la parábola abre hacia arriba.

2

Vértice
$h = -\dfrac{-8}{2 \cdot 2} = \dfrac{8}{4} = 2$
$k = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$
$V = (h,k) = (2, -2)$

3

Discriminante y raíces
$\Delta = (-8)^2 - 4(2)(6) = 64 - 48 = 16 > 0$ → dos raíces reales.
$x_{1,2} = \dfrac{8 \pm \sqrt{16}}{4} = \dfrac{8 \pm 4}{4}$
$x_1 = 3$, $\quad x_2 = 1$

4

Ordenada al origen
$f(0) = c = 6$, entonces el punto $(0, 6)$.

5

Imagen
Como $a > 0$, $\text{Im}(f) = [-2, +\infty)$.

$f(x) = 2x^2 - 8x + 6$ | vértice $V=(2,-2)$, raíces $x=1$ y $x=3$

Ejemplo 2 — Forma Canónica

Dada $f(x) = -3(x + 1)^2 + 12$, determiná vértice, raíces e imagen.

1

Leer parámetros
$a = -3$, $h = -1$, $k = 12$. Parábola abre hacia abajo ($a < 0$).

2

Vértice directo
$V = (h, k) = (-1, 12)$. ¡Se lee directamente! Eje de simetría: $x = -1$.

3

Raíces
Igualamos a cero: $-3(x+1)^2 + 12 = 0$
$(x+1)^2 = 4 \Rightarrow x + 1 = \pm 2$
$x_1 = 1$, $\quad x_2 = -3$

4

Imagen
Como $a < 0$, $\text{Im}(f) = (-\infty, 12]$. El máximo de la función es $12$.

$f(x) = -3(x+1)^2 + 12$ | vértice $V=(-1,12)$, raíces $x=-3$ y $x=1$

Ejemplo 3 — Forma Factorizada

Dada $f(x) = \tfrac{1}{2}(x - 4)(x + 2)$, encontrá vértice, ordenada al origen y analizá el signo de la función.

1

Leer parámetros
$a = \tfrac{1}{2}$, $x_1 = 4$, $x_2 = -2$. Parábola abre hacia arriba.

2

Vértice
$h = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{4 + (-2)}{2} = 1$
$k = \tfrac{1}{2}(1-4)(1+2) = \tfrac{1}{2}(-3)(3) = -\tfrac{9}{2}$
$V = \left(1,\, -\tfrac{9}{2}\right)$

3

Ordenada al origen
$f(0) = \tfrac{1}{2}(0-4)(0+2) = \tfrac{1}{2}(-4)(2) = -4$. Punto $(0, -4)$.

4

Signo de la función
Como $a > 0$ y las raíces son $x_2 = -2$ y $x_1 = 4$:
$f(x) > 0$ para $x < -2$ o $x > 4$.
$f(x) < 0$ para $-2 < x < 4$.

$f(x) = \tfrac{1}{2}(x-4)(x+2)$ | vértice $V=\!\left(1,\,-\tfrac{9}{2}\right)$, raíces $x=-2$ y $x=4$

Gema recuerda

Para analizar el signo de la función cuadrática: si $a > 0$, la parábola queda por debajo del eje $x$ entre las raíces y por encima fuera de ellas. Si $a < 0$, al revés. Esta propiedad es muy útil para resolver inecuaciones cuadráticas.

09 · Práctica Ejercicios de Práctica ▼

Gráfico y análisis — Forma Polinómica

1

Gráfico · Polinómica $f(x) = x^2 - 6x + 5$

$a=1,\; b=-6,\; c=5$ — Abre hacia arriba.

Vértice: $h = 3$, $k = f(3) = -4$ → $V=(3,-4)$

Discriminante: $\Delta = 36-20 = 16 > 0$

Raíces: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$

Ordenada al origen: $f(0) = 5$ → punto $(0,5)$

Imagen: $[-4,\, +\infty)$

2

Gráfico · Polinómica $g(x) = -2x^2 + 4x + 6$

$a=-2,\; b=4,\; c=6$ — Abre hacia abajo.

Vértice: $h = 1$, $k = f(1) = -2+4+6=8$ → $V=(1,8)$

Discriminante: $\Delta = 16+48 = 64 > 0$

Raíces: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$

Ordenada al origen: $f(0) = 6$ → punto $(0,6)$

Imagen: $(-\infty,\, 8]$

Gráfico y análisis — Forma Canónica

3

Gráfico · Canónica $f(x) = 2(x-3)^2 - 8$

$a=2,\; h=3,\; k=-8$ — Abre hacia arriba.

Vértice: $V=(3,-8)$ (lectura directa)

Raíces: $2(x-3)^2=8 \Rightarrow (x-3)^2=4 \Rightarrow x=5$ o $x=1$

Ordenada al origen: $f(0)=2(9)-8=10$ → punto $(0,10)$

Imagen: $[-8,\, +\infty)$

4

Gráfico · Canónica $h(x) = -(x+2)^2 + 9$

$a=-1,\; h=-2,\; k=9$ — Abre hacia abajo.

Vértice: $V=(-2,9)$ (lectura directa)

Raíces: $(x+2)^2=9 \Rightarrow x+2=\pm 3 \Rightarrow x=1$ o $x=-5$

Ordenada al origen: $f(0)=-(4)+9=5$ → punto $(0,5)$

Imagen: $(-\infty,\, 9]$

Gráfico y análisis — Forma Factorizada

5

Gráfico · Factorizada $f(x) = (x-1)(x-5)$

$a=1,\; x_1=1,\; x_2=5$ — Abre hacia arriba.

Vértice: $h=3$, $k=f(3)=(2)(-2)=-4$ → $V=(3,-4)$

Ordenada al origen: $f(0)=5$ → punto $(0,5)$

Imagen: $[-4,\, +\infty)$

Signo: $f(x)<0$ para $1 < x < 5$; positiva fuera de ese intervalo.

6

Gráfico · Factorizada $g(x) = -2(x+3)(x-1)$

$a=-2,\; x_1=-3,\; x_2=1$ — Abre hacia abajo.

Vértice: $h=-1$, $k=f(-1)=-2(2)(-2)=8$ → $V=(-1,8)$

Ordenada al origen: $g(0)=6$ → punto $(0,6)$

Imagen: $(-\infty,\, 8]$

Signo: $g(x)>0$ para $-3 < x < 1$; negativa fuera de ese intervalo.

Encontrar parámetros a partir de información

7

Parámetro k Encontrá $k$ si $f(x)=2(x-1)^2+k$ tiene vértice con $k = -3$.

En la forma canónica $f(x) = a(x-h)^2 + k$, la ordenada del vértice se lee directamente como $k$.

Resultado: $k = -3$

8

Parámetro k Hallar $k$ si $f(x) = x^2 + kx + 9$ tiene exactamente una raíz real.

Condición: raíz única → $\Delta = 0$

$\Delta = k^2 - 4(1)(9) = k^2 - 36 = 0$

$k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6$

9

Parámetro k Determiná $k$ para que $f(x) = kx^2 - 4x + 1$ no tenga raíces reales.

Condición: sin raíces reales → $\Delta < 0$

$\Delta = 16 - 4k < 0 \Rightarrow 4k > 16 \Rightarrow k > 4$

(Además $k \neq 0$ para que sea cuadrática, lo cual ya está garantizado si $k > 4$.)

Resultado: $k > 4$

10

Parámetro k Encontrá $k$ tal que $f(x) = x^2 - 2x + k$ tenga su vértice sobre el eje $x$.

Condición: vértice sobre el eje $x$ → ordenada del vértice $= 0$

Calcular $h$: $h = \dfrac{-(-2)}{2} = 1$

Calcular $k$: $k = f(1) = 1 - 2 + k = k - 1$

Imponemos $k = 0$: $k - 1 = 0 \Rightarrow k = 1$

Verificación: $f(x) = (x-1)^2$ → raíz doble en $x=1$ ✓

Forma	Fórmula General	Información directa
Polinómica / General	\(f(x) = ax^2 + bx + c\)	Ordenada al origen \(c = f(0)\). Permite calcular el discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\) y las raíces por Bhaskara. El vértice se obtiene con \(h = -b/(2a)\).
Canónica / del Vértice	\(f(x) = a(x - h)^2 + k\)	Vértice \(V = (h, k)\) directamente. Eje de simetría \(x = h\). Valor mínimo (o máximo) de la función es \(k\). Imagen \([k,+\infty)\) si \(a>0\).
Factorizada	\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)	Raíces o ceros \(x_1\) y \(x_2\) directamente (cuando existen). Signos de la función y análisis de intervalos. Vértice en \(h = (x_1+x_2)/2\).

Función Cuadrática

Importancia de los parámetros

Fórmulas clave desde la forma polinómica

Imagen de la función

Importancia de los parámetros

¿Cómo pasar de polinómica a canónica?

Gráfico general: desplazamientos

Importancia de los parámetros

Gráfico general según el discriminante

Ejemplo 1 — Forma Polinómica

Ejemplo 2 — Forma Canónica

Ejemplo 3 — Forma Factorizada

Gráfico y análisis — Forma Polinómica

Gráfico y análisis — Forma Canónica

Gráfico y análisis — Forma Factorizada

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